Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer 1

如图：

（1）∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=180°-90°=90°

∵AD⊥CD，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠E=∠D=90°，BC=AC，

∴△BCE≌△CAD

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD+CE=AD+BE

 

（2）如图，证法与（1）类似；

 

（3）如图，DE=BE-AD，证法与（2）类似。

Answer 2

通过三角形全等

Answer 3

（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB
∠ACD=∠CBE
AC=CB
，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）证明：在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°
∠ACD=∠CBE
AC=CB
，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）DE=BE-AD