Question

初二数学题。求高手

感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为？．

Answer 1

拓展：
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴
∠AEB=∠AFC∠ABE=∠4AB=AC
，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
应用：
解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，
∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，
∵△ABC的面积为9，
∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；
∵∠1=∠2，
∴∠BEA=∠AFC，
∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴
∠AEB=∠AFC∠ABE=∠4AB=AC
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴△ABE与△CAF面积相等，
∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，
∴△ABE与△CDF的面积之和为6
望楼主采纳，谢谢

Answer 2

∵∠1=∠2=∠BAC，
∠1=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵∠ABE=∠CAF
AB=AC
∠BAE=∠ACF
∴△ABE≌△CAF（ASA）

∵∠1=∠2=∠BAC
∴∠BEA=∠AFC,∠EBA=∠1-∠BAE=∠BAC-∠BAE=FAC.
又∵AB=AC,
∴ △BAE≌△ACF,S△ABE=S△ACF.
∵CD=2BD,S△ABC=9,
∴S△ADC=2/3*S△ABC=2/3*9=6
∴S△ABE+S△CDF=S△ACF+S△CDF=S△ADC=6

追问

然后呢？

Answer 3

图②与图①证法相同。
图③中证△ABE≌△CAF
所以他们面积相等。
三角形AFC面积加三角形CDF面积等于三分之二三角形ABC的面积等于6
所以三角形ABE的面积加三角形CDF的面积等于6