Question

高等数学曲线积分格林公式问题，求教大神详解

设函数f(t)具有连续的二阶导数，且f(1)=f'(1)=1，试确定函数f(y/x),使∮L[y^2/x+xf(y/x)]dx+[y-xf'(y/x)]dy=0,其中L是不与y轴相交的任意的简单正向闭路径。

答案是f(y/x)=y^3/x^3-y^2/x^2+1 ，我不知道怎么算%>_<% 先别提常微分方程，我们还没学呢

Answer 1

各种非常系数，这还与常微分方程有关系？
1.根据格林公式有∫∫[ðQ/ðx-ðP/ðy]=0，化简即uf"(u)-2f‘(u)-2u=0，其中u=y/x。
2.配凑两边关于u积分，有uf'(u)-3f(u)-u^(2)+C1=0，代入初始条件得C1=3。
3.显然u=y/x≠0，方程uf'(u)-3f(u)-u^(2)+3=0两边同时除了u，根据一阶线性微分方程的公式可得f(u)=u^(3){∫[u^(2)-3]/u^(4)du+C2},而∫[u^(2)-3]/u^(4)du=u^(-3)-u^(-1)，带入初始条件得C2=1。即得f(u)=u^(3)-u^(2)+1，将u=y/x代回函数得f(y/x)=y^3/x^3-y^2/x^2+1。

Answer 2

不用微分方程应该不行吧？

追问

如果能用也用吧，希望我看得懂%>_<%

追答

这个题目放错地方了。

追问

麻烦你回答一下= =

追答

太烦了，方程好像还是个欧拉方程。

追问

⊙﹏⊙b汗。。。那肯定你的方法也不对了，再麻烦也不会跑到那里去，毕竟才是A组题啊，我还是问别人吧╮(╯_╰)╭

追答

看看其他人怎么说吧。