Question

根号(x*y-y^2)的不定积分怎么算

积分变量是y。把x当做常数。

Answer 1

被积函数根号内先配方得∫√[-(y-x/2)²+x²/4]dy;接着换元：令u=y-x/2，得∫√[-u²+x²/4]du,变形∫(x²/4)√[1-(2u/x)²]d(2u/x),再换元t=2u/x,得∫(x²/4)√[1-t²]dt,令t=cosθ(0<θ<π),-∫(x²/4)sin²θdθ=(x²/4)(1/4sin2θ-θ/2)+C.再把变量还原。

Answer 2

不知积分变量是哪个？

追问

积分变量是y...忘了说。把x当做常数。

追答

根号(x*y-y^2)=根号[(x^2/4-(x/2-y)^2]
令x/2-y=(x/2)sina,sina=(x-2y)/x
y=(x/2)[1-sina]（不妨设x>0)
dy=-(x/2)cosada
元积分=-积分(x/2)^2cosa^2da=-(x^2/4)积分(1+cos2a)/2da
=-(x^2/4)(a/2+sin2a/4)+C利用sina=(x-2y)/x算出cosa带入即得
或则=积分根号[(x^2/4-(x/2-y)^2]dy.令（x/2)=a.a-y=t
=-积分根号[a^2--t^2]dt
在直接查积分表一般教材都有积分根号[a^2--t^2]dt查处，再将a,t还原即可