Question

不定方程2x+5y+z=n（n为非负整数）有多少组非负整数解？

用含n的多项式表示？

Answer 1

不知道楼主学历水平，现提供两种方法。

方法1（只需初等数学知识）：根据整数的最大公约数性质知，一次不定方程x+by=n（b,n均为正整数）非负整数解的个数为[n/b]+1。（这里“[x]”是高斯函数，表示不大于x的最大整数）
为减少求和次数，将原方程变成z+2x=n-5y形式，根据前面的结论可知，非负整数解的个数为
∑{[(n-5*k)/2]+1}，其中k跑遍0,1,2,...,[n/5]。

方法2（需要高等数学知识）：根据多项式乘法性质，构造母函数G(x)=(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^5+x^10+x^15+...)(1+x+x^2+x^3+...)=1/[(1-x^2)(1-x^5)(1-x)]，然后展开成无穷级数(注1)，其中x^n项的系数就是不定方程2x+5y+z=n的非负整数解的个数。

注1：具体过程是先分式裂项，展开成多个低次分式之和，再利用极限以及无穷级数知识，可求出x^n次项系数。

Answer 2

a1+a2+...+an=m的非负整数解的解的个数为C(n+m-1,n-1)
正整数解的个数为C(m-1,n-1)
2x+5y+z=n
正整数解的个数为C(m-1,n-1)=C(n-1,2)