Question

已知函数f(x)=x+alnx，其中a为常数,且a≤-1 ，若f(x)≤e-1对任意x∈[e,e^2]恒成立，求实数的取值范围

已知函数f(x)=x+alnx，其中a为常数,且a≤-1 ，若f(x)≤e-1对任意x∈[e,e^2]恒成立，求实数的取值范围

反解a以后怎么判断不等式另一边的增减

Answer 1

f(x)=x＋alnx
则：
f'(x)=1＋(a/x)=(x＋a)/(x)
因为a≤－1，则：
(1)若－e²≤a<－e
当e≤x≤e²时，恒有：f'(x)≥0
即函数f(x)在就[e，e²]上是递增的，则函数f(x)在区间[e，e²]上的最小值是：
f(e)=e＋a≤e－1
得：a≤－1
即：－e²≤a≤－e
(2)若－e≤a<－1
则函数f(x)在区间[e，e²]上的最小值是：
f(－a)=－a－aln(－a)≤e－1
得：a≥e
此时无解
(3)若a≤－e²
则函数f(x)在[e，e²]上递减，其最小值是f(e²)=e²＋2a≤e－1
a≤(1/2)e－(1/2)－(1/2)e²
即：a≤－e²

综合，得：a≤－e