Question

数学排列组合涂色问题

从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面涂色，每两个具有公共棱的面图涂成不同颜色，则不同的涂色方案共有多少种？

Answer 1

之前的算法有误，因为没考虑全面还是出现了重复涂色。
这题难在重复涂色，以下分4种情况解释 (分别是取6色、5色、4色、3色)。

6色：想象面对你的面是1，那它的对面就有5种情况(2、3、4、5、6)，在两面之间有4面，本应是4面求排列共4！种情况，因为4面相连，所以固定一面，剩下3面排列共3！种情况(开头想象1面对你也是为了避免重复)。
所以取6色共：5x3!=30 种情况

5色：取5色说明有 ”俩面“ 颜色相同，相同面关系是相对，相同面间是其余4色。运用6色时思路，想象面对你的面与对面颜色相同有5种情况(因为取了5色)，在两面之间有4面，本应是4面求排列共4！种情况，因为4面相连，所以固定一面，剩下3面排列共3！情况，最后是一共6种色取出5种的话应该是 C（6，5）。
所以取6色共：5x3！xC（6，5）=180 种情况

4色：取4色说明有 “俩组” 颜色相同(不会有3面同色)，相同面关系是相对，余下2色关系相对，颜色互易。同样6色思路，想象面对你的是一种颜色固定，那它对面就有3种情况(余下的3种颜色)，这两面间有4面，但只剩下 “俩组” 相同色，所以这四面只有一种情况，最后是一共6种色取出4种的话应该是 C（6，4）
所以取6色共：3xC（6，5）=45 种情况

3色：取3色说明有 “三组” 颜色相同(没有其余情况)，相同面关系是相对。想象想象面对你的是一种颜色固定，那它对面颜色比与他相同，它俩直接的4面是 “俩组” 相同色，情况只有种，最后是一共6种色取出3种的话应该是 C（6，3）
所以取6色共：C（6，3）=20 种情况

所以不同的涂色方案共：30+180+45+20=275 种
如有不明或错误地方请指出

追问

六种颜色涂六面为什么不是A(6,6)呢，还有涂三色不是A(6,3)是C(6,3)呢，不懂，求解释

追答

六种颜色涂六面A(6,6)的话会有重复的，因为是在正方体上涂色，不是平面上。

涂三色不是A(6,3)也是因为重复问题，我在上面3色中已经解释很详细，如有看不懂的地方请说指出是那句话，便于我进一步解释。

为了便于理解你可以自己做模型涂色。

下图是我画出了几种6色，与3色下，因为运用的排列，出现的不同涂发，但实际上折起来是相同的正方体(图中6色的都是同一正方体，3色也都是同一正方体)。

Answer 2

1个面与5个面相交，另外1个面是对面
排法：
5个面进行全排列：A(5,5)
5个面的颜色确定，另外一个面有2种颜色可选（对面颜色和剩下的颜色）C(2,1)
排列数：A(5,5)*C(2,1)=240种

Answer 3

这排列统计的题就只能慢慢来，考虑最少需要3种颜色（貌似），最多6种颜色。然后按情况分析3种、4种、5种、6种的方案，最后汇总相加。具体的我就不算了抱歉，我就提供思路。

Answer 4

这种问题先考虑三角形
可以避免讨论
给ABF三点涂色有4×3×2种情况
剩下的则分两种情况
(1)BD同色:1×(1×2+2×1)=4
括号里表示CF同色与CF不同色的情况
(2)BD不同色:2×2×1=4
共计4×3×2×(4+4)=192种

Answer 5

给定的六种不同颜色选若干颜色，将一个正方体6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂不同颜色

至少要3种颜色,对面同色.