Question

错位相减法，倒序相加法，的例题

Answer 1

错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的。

用错位相减法求和应注意：

1、要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

2、在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

3、在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

倒序相加法

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的

Answer 2

错位相减法：
例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

　　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；

　　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；

　　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

　　两边同时乘以1/2

　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）

　　两式相减

　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

　　Sn=1-1/2^n

　　错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：

　　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）

　　在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：

　　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）

　　用（1）—（2），得到等式（3）如下：

　　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）

　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

　　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。

　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。

　　例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0）

　　解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n平方

　　当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方

　　所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方

　　所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。。。。。+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。

　　化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方

　　Cn=(2n+1)*2^n

　　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n

　　2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)

　　两式相减得

　　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)

　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)

　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)

　　=(1-2n)*2^(n+1)-2

　　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

　　错位相减法

　　这个在求等比数列求和公式时就用了

　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

　　两边同时乘以1/2

　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）

　　两式相减

　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

　　Sn=1-1/2^n

Answer 3

错位相减法例题
题目：设an＝2n－1，bn＝2的n次方，求数列﹛an·bn﹜的前n项之和Sn。
解答：
Sn=1×2+3×2²+5×2³+........+(2n-1)×2ⁿ ①
2Sn=2²+3×2³+5×2⁴+........+(2n-3)×2ⁿ+(2n-1)×2^(n+1) ②
①-②:
-Sn=2+2×2²+2×2³+.........+2×2ⁿ-(2n-1)×2^(n+1)
=2+2(2²+2³+.......+2ⁿ)-(2n-1)×2^(n+1)
=2+2×2²[2^(n-1)-1]/(2-1)-(2n-1)×2^(n+1)
=2+8×2^(n-1)-8-(2n-1)×2^(n+1)
=-6-(2n-3)×2^(n+1)
Sn=6+(2n-3)×2^(n+1)

倒序相加法例题
题目：设数列：1 2 3 4 ……n 求其前n项的和。
解答：
1 2 3 4 ……n
n n-1 n-2 n-3……1
设前n项和为S,以上两式相加
2S=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+……+(1+n) (供n个n+1)
=n(n+1)
S=n(n+1)/2

Answer 4

Answer 5

倒序求和实际上就是把两组数相互颠倒然后再跟据a+b=Am+Ab的原则，两两的式子相加！