Question

已知函数f(x)的图像与函数h(X)=x+1/x+2的图像关于点点A（0,1）对称。

1）求f(x）的解析式；
2）若g(x)=f(x)+a\x,且g(x)在（0,2）（注：后为闭区间）上为减函数，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）设f（x）上的点为（x1，y1）h（x）上的点为（x2,y2）
两点关于（0,1）对称
则x1+x2=0 y1+y2=2
而y2=x2+1/x2+2
得到y1=x1+1/x1
所以f（x）的解析式是f（x）=x+1/x
（2）g（x）=x+1/x+a/x
求导后得到g‘（x）=1-（a+1）/x^2
g(x)在（0,2]上为减函数,所以g’（x）<=0在（0,2]上恒成立
即1-（a+1）/x^2）<=0在（0,2]上恒成立
推出a>=x^2-1在（0,2]上恒成立
所以a>=2^2-1=3
所以a的取值范围是a>=3

Answer 2

（1）
若h(x)对应x和y,且f(x)对应x'和y',即：
（x，y）是h(x)上的点,（x'，y'）是f(x)上的点
那么根据中点公式，得：
y+y'=2,x+x'=0
从而得到y'=2-y=2-x-(1/x)-2=-x-(1/x)=x'+(1/x')
即函数f(x)=x+(1/x)

（2）
g(x)在（0,2]上为减函数,所以g’（x）≤0在（0,2]上恒成立即：
1-（a+1）/x²）≤0在（0,2]上恒成立
推出a≥x²-1在（0,2]上恒成立
所以a≥2²-1=3，即：
a≥3

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