设x∈(0,π/2),则函数(sin²x+1/sin²)(cosx²+1/cos²x)的最小值是
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最小值是6.25
设t=sin²x，那么cos²x=1-t (0<t<1)
那么(sin²x+1/sin²x)(cos²x+1/cos²x)=(t+1/t)[1-t+1/(1-t)]
=t-t²+t/(1-t)+1/t+1/(t-t²)-1
=t-t²+2/(t-t²)-2
令m=t-t² (0<m≤1/2)，那么t-t²+2/(t-t²)-2=m+2/m-2
我们知道函数y=x+2/x在(0,√2)上单调递减
那么当m=1/2时，m+2/m-2取得最小值，为1/4+8-2=6.25
此时t=1/2，那么sin²x=t=1/2，sinx=√2/2，x=π/4
设t=sin²x，那么cos²x=1-t (0<t<1)
那么(sin²x+1/sin²x)(cos²x+1/cos²x)=(t+1/t)[1-t+1/(1-t)]
=t-t²+t/(1-t)+1/t+1/(t-t²)-1
=t-t²+2/(t-t²)-2
令m=t-t² (0<m≤1/2)，那么t-t²+2/(t-t²)-2=m+2/m-2
我们知道函数y=x+2/x在(0,√2)上单调递减
那么当m=1/2时，m+2/m-2取得最小值，为1/4+8-2=6.25
此时t=1/2，那么sin²x=t=1/2，sinx=√2/2，x=π/4
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