Question

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在。

Answer 1

（1）证明：因为三角形ABD是等边三角形
所以角ABD=60度
AD=BD=AB
因为三角形BCF是等边三角形
所以角CBF=角BCF=60度
BF=BC=CF
因为角DBF=角ABD-角ABF=60-角ABF
角ABC=角CBF-角ABF=60-角ABF
所以角DBF=角ABC
所以三角形DBF和三角形ABC全等（SAS)
所以DF=AC
因为三角形ACE是等边三角形
所以AE=AC=CE
角ACE=60度
所以DF=AE
因为角ACB=角BCF+角ACF=60+角ACF
角ECF=角ACE+角ACF=60+角ACF
所以角ACB=角ECF
所以三角形ACB和三角形ECF全等（SAS)
所以AB=EF
所以AD=EF
DF=AE（已证)
所以四边形DAEF是平行四边形
(2)当三角形ABC，角BAC=150度时，四边形DAEF是矩形
当三角形ABC，,AB=AC时，四边形DAEF是菱形
当三角形ABC,角BAC=60度时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在

Answer 2

（1）证明：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC和△DBF中，

BA＝BD
∠ABC＝∠DBF
BC＝BF

∴△ABC≌△DBF．（2分）
∴AC=DF=AE．（3分）
同理△ABC≌△EFC．
∴AB=EF=AD．（4分）
∴四边形ADFE是平行四边形．（6分）

（2）解：当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∴平行四边形DAEF是矩形．
当AB=AC≠BC，有AD=AE，
∴平行四边形DAEF是菱形．
当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．