Question

高中数学函数问题，高手进

x�0�6+(3a�6�6／x), |x|≥a／2
已知常数a＞0，函数f﹙x﹚=﹛
49a�0�5x／4, |x|＜a／2
问：i：求f（x）的单调区间；
ii：若0＜a＜2，求f（x）在区间[1，2]的最小值g（x）；
iii：是否存在常数t，使对于任意的x∈（a/2，2t - a/2),（t＞ a/2﹚时，f（x）f（2t - x)+f(t)�0�5≥[f(x)+f（2t - x)]f(t)恒成立，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

一、 高中数学与初中数学特点的变化
1、数学语言在抽象程度上突变
初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等。
2、思维方法向理性层次跃迁
高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步,因式分解先看什么,再看什么等。因此,初中学习中习惯于这种机械的,便于操作的定势方式,而高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。
3、知识内容的整体数量剧增
高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了,单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多,辅助练习、消化的课时相应地减少了。
4、知识的独立性大
初中知识的系统性是较严谨的,给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆,又适合于知识的提取和使用。但高中的数学却不同了,它是由几块相对独立的知识拼合而成(如高一有集合,命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、三角函数、数列等),经常是一个知识点刚学得有点入门,马上又有新的知识出现。因此,注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。
二、如何学好高中数学
1、养成良好的学习数学习惯。
建立良好的学习数学习惯,会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是:多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法
学好高中数学,需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。
解数学题时,也要注意解题思维策略问题,经常要思考:选择什么角度来进入,应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有:以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。
3、逐步形成 “以我为主”的学习模式
数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程,养成实事求是的科学态度,独立思考、勇于探索的创新精神;正确对待学习中的困难和挫折,败不馁,胜不骄,养成积极进取,不屈不挠,耐挫折的优良心理品质;在学习过程中,要遵循认识规律,善于开动脑筋,积极主动去发现问题,注重新旧知识间的内在联系,不满足于现成的思路和结论,经常进行一题多解,一题多变,从多侧面、多角度思考问题,挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去,又要能跳出来,结合自身特点,寻找最佳学习方法。
4、针对自己的学习情况,采取一些具体的措施

记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中
拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。

建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再
犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化
或半自动化的熟练程度。

经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,
使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课
外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。

及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩
固,消灭前学后忘。

学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解
题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学
思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。

无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而
不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题

Answer 2

i、解：①当|x|≥a/2时，即：x≥a/2或x≤-a/2时
对原函数求导得：f′﹙x﹚＝3x�0�5-﹙3a�6�6／x�0�5﹚
由f′﹙x﹚≥0得：x≥a或x≤-a
∵a＞0 ∴a＞a/2,-a＜-a/2
∴此时函数f﹙x﹚增区间为：﹙-∞，-a]和[a，﹢∞﹚
②当x＜a/2时，即-a/2＜x＜a/2时
对原函数求导得：f′﹙x﹚＝49a�0�5／4
∴f′﹙x﹚＞0恒成立
∴此时函数f﹙x﹚增区间为：﹙-a/2，a/2﹚
综上所述：函数f﹙x﹚增区间为﹙-∞，-a]和[a，﹢∞﹚和﹙-a/2，a/2﹚
ii、解：∵0＜a≤2 ∴0＜a/2≤1
由 i 可知：当|x|≥a/2时，即：x≥a/2或x≤-a/2时
对原函数求导得：f′﹙x﹚＝3x�0�5-﹙3a�6�6／x�0�5﹚
由f′﹙x﹚≤0得：-a≤x≤-a/2或a/2≤x≤a
∴f﹙x﹚减区间为：[-a，-a/2]和[a/2，a]
⒈当0＜a≤1时
g﹙a﹚=f﹙x﹚min=f（1）=1+3a�6�6
⒉当1＜a≤2时
g﹙a﹚=f﹙x﹚min=f﹙a﹚=4a�0�6
iii、解： 假设存在符合题意的实数t
则：对于任意的x∈（a/2，2t - a/2),（t＞ a/2﹚时，f（x）f（2t - x)+f(t)�0�5≥[f(x)+f（2t - x)]f(t)恒成立
f（x）f（2t - x)+f(t)�0�5≥[f(x)+f（2t - x)]f(t)
整理得：[f﹙x﹚-f﹙t﹚][f﹙2t-x﹚﹣f﹙t﹚]≥0
①当2t-a/2≤a，且t＞a/2
即a/2＜t≤3a/4,且2t-a/2＞t
则f﹙x﹚在区间（a/2，2t - a/2)恒为增函数
则有t＜xmin=a/2，且t＜（2t-x）min →x＜a/2（与题意不合，舍去）
或有t＞xmax=2t-a/2，且t＞（2t-x﹚max →x＜a/2（与题意不合，舍去）
②当2t-a/2＞a，且t＞a/2
即t＞3a/4,且2t-a/2＞t
则函数f﹙x﹚在区间﹙a/2，a﹚上为减函数，在区间﹙a，2t - a/2﹚上为增函数
由题意得：t≤a且t≥a，即t取a时符合题意
综上所述：存在实数t=a符合题意