Question

能帮我解一下吗? 求过程。谢谢!

Answer 1

1。解：将y=x+k代入椭圆方程得3x²+2(x+k)²=6；展开化简得5x²+4kx+2k²-6=0；
因为有相异两交点，故其判别式△=16k²-20(2k²-6)=-24k²+120>0，即有k²<5，即-√5<k<√5；
2。解：将y=mx+3代入椭圆方程得4x²+9(mx+3)²=36；展开化简得：
(4+9m²)x²+54mx+45=0；判别式△=2916m²-180(4+9m²)=1296m²-720=144(9m-5)；
当9m-5>0，即m>5/9时直线与椭圆有两个交点；当m=5/9时直线与椭圆只有一个交点；
当m<9/5时直线与椭圆没有交点。
3。对椭圆方程得两边取导数得(2/9)x+(1/2)yy'=0，故得y'=-4x/(9y)；令-4x/(9y)=2，
解得y=-(2/9)x，代入椭圆方程得x²/9+x²/81=10x²/81=1，得x²=81/10，故得x=±9/√10；y=∓2/√10；
故切线方程为y=2(x-9/√10)-2/√10=2x-20/√10；或y=2(x+9/√10)+2/√10=2x+20/√10；
或写成y=2x-2√10，与y=2x+2√10.
4。解：求导： 4x+2yy'=0，得y'=-2x/y∣(2，1)=-4，故切线方程为y=-4(x-2)+1=-4x+9；
法线方程为y=(1/4)(x-2)+1=(1/4)x+1/2.
5。解：(2/3)(x-1)+(2/9)yy'=0，得y'=-3(x-1)/y∣(-2，-3)=-3；
故切线方程为y=-3(x+2)-3=-3x-9；法线方程为y=(1/3)(x+2)-3=(1/3)x-7/3，即x-3y-7=0.
6。解：将直线方程y=(1/4)x+11/4代入椭圆方程得x²+4[(1/4)x+11/4]²+2x-19=0
化简得x²+6x+9=(x+3)²=0，故得x=-3，y=-3/4+11/4=2，即切点坐标为（-3,2).
7。解：直线2x+y-2=0的斜率k=-2；令椭圆的导数y'=-9x/4y=1/2，即得-18x=4y，化简
得y=-(9/2)x，代入椭圆方程得9x²+81x²=90x²=36，解得x=±2/√10=±(1/5)√10；相应地，
y=∓(9/10)√10；即椭圆上的点((1/5)√10，-(9/10)√10)和点((-1/5)√10，(9/10)√10)的切
线与直线2x+y-2=0垂直；切线方程为y=(1/2)[x-(1/5)√10]-(9/10)√10=(1/2)x-(11/10)√10
及y=(1/2)[x+(1/5)√10]+(9/10)√10=(1/2)x+(11/10)√10；
令(1/2)x-(11/10)√10=2-2x，解得x=(20+11√10)/25，y=2-(40+22√10)/25=(10-22√10)/25，
这是椭圆的一条切线与直线2x+y-2=0的交点M((20+11√10)/25，(10-22√10)/25)；
再令(1/2)x+(11/10)√10=2-2x，解得x=(20-11√10)/25，y=2-(40-22√10)/25)=(10+22√10)/25，
这是椭圆得另一条切线与直线2x+y-2=0得交点N((20-11√10)/25，(10+22√10)/25)；
那么∣MN∣=√[(22√10/25)²+(44√10/25)²]=√[(4840+19360)/625]=(1/25)√24200=(110/25)√2
就是椭圆在直线2x+y-2=0上的正射影的长度。
8。解：直线x-y-4=0的斜率K=1；对椭圆求导：8x+2yy'=0，令y'=-4x/y=-1，得y=4x；
代入椭圆方程得4x²+16x²=20x²=4，x²=1/5，故得x=±√5/5，相应地，y=4x=±4√5/5
椭圆上过点(√5/5，(4√5)/5)的切线方程为y=-(x-√5/5)+(4√5)/5=-x+√5................(1)
椭圆上过点(-√5/5，(-4√5)/5)的切线方程为y=-(x+√5/5)-(4√5)/5=-x-√5..............(2)
令-x+√5=x-4，解得x=(4+√5)/2，y=x-4=(√5-4)/2；得切线与直线的交点P((4+√5)/2，(√5-4)/2)
令-x+-√5=x-4，解得x=(4-√5)/2，y=-(√5+4)/2；得切线与直线的交点Q((4-√5)/2，-(√5+4)/2)；
那么∣PQ∣=√(5+5)=√10就是椭圆在直线x-y-4=0上的正射影之长。

Answer 2

老实说这几个题目，所要用的东西都是大同小异，难度相对高中来说，一般都是倒数第3，4题以内的题目。太多了我就不一一说了，
1）解：由于椭圆与直线交于两个不同的点，△>0则，
y=x+k ①
x²/2+y²/3=1 ②
有 ①②得，5x²+4kx+2k²-6=0
得，△=b²-4ac
=（4k）²-4*5（2k²-6）
得，16k²-40k²+120>0
解得-√￣5<k<√￣
就这样了，下班了，再聊。
望采纳。