Question

λ取何值时,线性方程组 λ1x1+x2+x3=λ-3 x1+λx2+x3=-2 x1+x2+λx3=-2 无解，有唯一解，有无穷解，

求方程组通解
λx1+x2+x3=λ-3
x1+λx2+x3=-2
x1+x2+λx3=-2

Answer 1

λx1+x2+x3=λ-3-------------------------(1)
x1+λx2+x3=-2--------------------------(2)
x1+x2+λx3=-2--------------------------(3)
(1)-λ*(2),
x2-λ^2 x2+x3-λx3=λ-3-2λ---------------(4)
(1)-λ*(3)
x2-λ x2+x3-λ^2x3=λ-3-2λ---------------(5)
从(4),
x2(1-λ^2)+x3(1-λ)=x2(1-λ)(1+λ)+x3(1-λ)=-3-λ-----------(6)
从(5),
x2(1-λ)+x3(1-λ^2)=-3-λ--------------------------------(7)
从(6),(7),
x3(1-λ)[1+(1+λ)^2]=-(λ+3)(1+λ)
设λ≠1,
x3=-(λ+3)(1+λ)/{(1-λ)[2+2λ+λ^2]}----------------(8)
从(5),(8)
x2=[-3-λ-x3(1-λ^2)]/(1-λ)----------------------------(9)
从(2),(8),(9),
x1=-λx2-x3-2---------------------------------------------(10)
方程组通解:(8),(9),(10)
考虑有唯一解:
系数行列式H=

|λ 1 1|
|1 λ 1|
|1 1 λ|
=(λ+2)(λ-1)^2。
∴λ≠-2且λ≠1时，方程组有唯一解。
λ=-2时，三个方程相加(1)+(2)+(3)得0=-5-2-2，矛盾，方程组无解。
λ=1时，三个方程相同，(1)=(2)=(3),都是x1+x2+x3=-2，方程组有无穷多解。

Answer 2

因为系数矩阵是方阵，先考虑有唯一解的时候，系数行列式D=
|λ 1 1|
|1 λ 1|
|1 1 λ|
=(λ+2)(λ-1)^2。
所以，λ≠-2且λ≠1时，方程组有唯一解。
λ=-2时，三个方程相加得0=-5-2-2，是矛盾方程，所以方程组无解。
λ=1时，三个方程相同，都是x1+x2+x3=-2，所以方程组有无穷多解。