Question

在三角形 ABC中,己知B=60'，求证( 1/a+b)+(1/b+c)=3/a+b+c

Answer 1

由题知：C-B=B-A，即：A+C=2B，则A+B+C=3B=180°，得B=60°。

若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c，由余弦定理，得

b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca

欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①

于是原题等价于证明①式成立，交叉相乘得：

3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理，得
b^2=c^2+a^2-ca，............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立，就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。

所以由此倒推即得。