Question

已知正项数列{An}首项A1=1,前n项和Sn满足An=√Sn+√Sn-1(n≥2)求证{√Sn}为等差数列，并求An通项公式

Answer 1

数列为正项数列，则Sn>0
n≥2时，
an=√Sn+√S(n-1)
Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n-1)
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]=√Sn+√S(n-1)
√Sn-√S(n-1)=1，为定值。
√S1=√a1=√1=1
数列{√Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列。
√Sn=1+(n-1)=n
Sn=n²
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时，a1=2×1-1=1，同样满足通项公式。
数列{an}的通项公式为an=2n-1。