Question

如图，延长正方形abcd的一边ab到e，de分别交ac，bc于g，f, ∠gbm＝90º

﹙1﹚求证∶f是ef中点
﹙2﹚若be＝½ab，求tg∠bgm的值
﹙1﹚m是ef的中点

Answer 1

建立直角坐标系: 以A为原点; AB所在直线为X轴, 方向向右; AD所在直线为Y轴, 方向向上. 正文形边长为单位长.
设E点坐标为(h, 0), 则DE所在直线方程为: y = -1/h * x + 1.
DE交AC的交点G坐标根据两条直线的方程求出:G: (h/(h+1), h/(h+1)).
DE交BC的交点F坐标根据两条直线的方程求出: F: (1, 1-1/h).
根据B和G的坐标求出BG的斜率为-h. BM与BG垂直, BM的斜率为1/h.
BM的方程可以用点斜式求出. 再用BM和DE的方程求出它们的交点M的坐标为:
M: (1/2 * (1+h), 1/2 * (1-1/h)).
再看F: (1, 1-1/h), E: (h, 0), 就证明了M是EF的中点.

第二问很好做, 把h代进G, M, B的坐标里. 确定的三个点. 角度相应就求出来了.

第一问还有一个几何上的证明办法:
角MBE = 90度 - 角GBA
角MEB = 90度 - 角ADG
因为G在正文形的角平分线上, 角GBA和角ADG相等. 所以角MBE和角MEB相等, 得出ME = MB.
角MBF = 90度 - 角MBE
角MFB = 90度 - 角MEB
所以角MBF和角MFB相等, 得出MF = MB.
所以ME = MF.

Answer 2

额......这题，我也不会。。。。。如果下次你知道答案，不介意在这告诉我吧？