Question

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/a1b1a3d2-3723-41b4-901b-c5b2992692c1 请写出具体的解答过程

Answer 1

1)设抛物线为：y = ax^2 + bx + c，代入A、D、E三点坐标，得方程组：
9a+3b+c = 0
a-b+c=0
c=3
解得a=-1，b=2，c=3
抛物线解析式为：y = -x^2 + 2x + 3，配方：y = -(x-1)^2 + 4，∴顶点B(1，4)
2)根据两点间距离公式：AE^2 = 18，BE^2 = 2，AB^2 = 20 = AE^2 + BE^2
∴AE⊥BE，即AB是圆的直径，∴tan∠BAE = [(BE)^2/(AE)^2]^(1/2) = 1/3 = tan∠CBE，
∵两个角都是三角形内角∴∠BAE =∠CBE，∴∠CBE + ∠ABE =∠BAE + ∠ABE = 90° =∠ABC，
∴直径AB⊥BC，∴CB是△ABE外接圆的切线
3)P是存在的：(0,0)和(9,0)
∵OE/OD=3=AE/BE，且∠EOD = 90° = ∠AEB，∴△EOD∽△AEB
∴P与原点O重合时，符合条件；
∵∠EDO=∠ABE，故只需要过E作DE的垂线，其与x轴的交点也是符合条件的P，求得P(9，0)
4)过E作y轴垂线，交AB于F，根据A、B坐标求得AB解析式：2x+y-6 = 0，易得F(3/2，3)
过F作FG⊥OA于G，易得G(3/2，0)
当OE沿x+平移直至通过GF之前，有0 < t《3/2，
设此阶段的平移线段为O1E1，过E1作OE、AE的平行线，交AE于M、交AF于N，由E1(t，3)，得FE1=3/2 - t ，此时重合面积S = S梯形EMAN，易证△EE1M和△AMO1都是等腰Rt△，
易得S△EE1M = t^2/2，又∵ E1N∥AE，∴△FE1N∽△FEA
∴S△FE1N ：S△FEA = (FE1/FE)^2 = [(3/2 - t)/(3/2)]^2 = (3-2t)^2 / 9
∴S△FEA - S△FE1N = S△FEA · [1 - ((3-2t)^2 / 9)] = S△FEA·(12t - 4t^2)/9
而S△FEA = (1/2)·(3/2)·3 = 9/4
∴重合面积S1 = S梯形EMAN = S△FEA - S△FE1N - S△EE1M = 3t - t^2 - (t^2/2)
= -(3/2)(t^2 - 2t)
当OE已经通过FG直至越过A点之前，此时有3/2 < t《3
设此阶段的平移线段为O2E2，其自上而下与AF、AE交点为P、K
易得此时重合面积S2就是△APQ的面积，根据AB解析式求得P(t，6-2t)
易得等腰Rt△AKE2的直角边长E2A = E2K = 3-t
∴S2 = S△APE2 - S△AKE2 = (1/2)·(3-t)·[(6-2t)-(3-t)] = (3-t)^2 / 2
综上△AOE沿x轴正方向平移t个单位时△AOE与△ABE重叠部分面积s与t之间函数关系式为：
S = -(3/2)(t^2 - 2t) ， 0 < t《3/2
S = (3-t)^2 / 2 ，3/2 < t《3

Answer 2

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Answer 3

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