Question

如图,在平行四边形ABCD中,AE,BF,CM,DN分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA是角平分线,求证四边形GHKL是矩形

Answer 1

证：∵在平行四边形ABCD中
AD//BC
∴∠AFB=∠CBF
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=∠CBF
∴∠ABF=∠AFB
同理可得：∠CDN=∠CND
∵∠ABC=∠ADC
∴∠AFB=∠ADN
∴BF//DN (同位角相等，两直线平行)
同理可得：AE//CM
∴四边形GHKL是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∵在平行四边形ABCD中
∠DAB+∠ABC=180°
AE、BF平分∠DAB、∠ABC
∴∠EAB+∠ABF=180°/2=90°
∴∠AGB=180° - 90°=90°
∴∠HGL=90° (对顶角相等)
∴平行四边形GHKL是矩形 (一个角是直角的平行四边形是矩形)

Answer 2

证明：
∵AD//BC
∴∠ADC+∠BCD=180°
∠CDK=1/2∠ADC
∠DCK=1/2∠BCD
∴∠CDK+∠DCK=1/2(∠ADC+∠BCD)=1/2×180°=90°
∠CKD=180°-(∠CDK+∠DCK)=180°-90°=90°
同理可证：四边形KLGH每个角都是90°
所以：四边形KLGH是矩形。