Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且f(-1)=0,问是否存在常数a,b,c,使得2x<f(x)<x2+1对一切实数x都成立

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且f(-1)=0,问是否存在常数a,b,c,使得2x<f(x)<x2+1对一切实数x都成立？如果存在，求出它们的值；如果不存在，请说明理由

Answer 1

f（x）=ax^+bx=c 没写清 我当成 ax^2+bx+c
令x=1，则1<=f(1)<=1，所以f(1)=1 又f(-1)=0
代入得：a+b+c=1 a-b+c=0
所以 a+c=1/2 b=1/2
所以f（x）=ax^2+1/2x+1/2-a
f(x)≤1/2（x^2+1)对一切实数x都成立，即（1/2-a)x^2-1/2x+a>=0恒成立
（1）1/2-a=0 显然不成立
（2）f（x）为二次函数，恒大于0，只有二次项系数大于0，且判别式<=0
即1/2-a>0 且判别式=（4a-1）^2<=0
那么必须a=1/4
那么c=1/4
将验证a=1/4 b=1/2 c=1/4

Answer 2

一.函数的值域(最值)及其求法

1.求下列函数的值域:

一 二

2.若函数的值域为，则实数的取值范围是______.

练习一: 函数的值域(最值)及其求法

1.函数的值域是( )

(A)(B)(C)(D)

2.函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在〔-3,3〕上的最小值是　　.

3.求函数的最大值.

4.设求.

二.函数的性质与图像

1.（1）函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有 （1）f (a－x) = f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什麼性质，证明你的结论；

（2）f (a－x) =－f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什麼性质，证明你的结论．

2. (1)已知(3x＋y)2007＋x2007＋4x＋y＝0，求4x＋y的值. (2)解方程:(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0

3.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那麼所有实数根的和为( )
(A)150 (B) (C)152 (D)

练习二:

1.设函数对一切实数满足:,且方程恰有6个不同实根,则这6个实根之和为( )

(A)18 (B)12 (C)9 (D)0

2.对任意整数,函数满足,若,则____.

3. 是周期为2的奇函数,当时,,则的值是( ) (A) (B) (D)

三、二次函数问题

1.设二次函数，方程的两个根满足

一当时，证明：

二设函数的图像关於直线对称,证明:

2．设二次函数,且满足条件:

一当时,,且;

二当时,;

三在上的最小值为0.

求最大的,使得存在,只要,就有

3．若二次函数f(x)=ax2+bx,有f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)= .

4． (教程)设,函数在上是增函数,则的取值范围是( )

(A) (B)或

(C)或 (D)或

5．二次函数中,实数满足,其中,

求证:一;二方程在内恒有解.

练习三：:

1. 已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴有两个不同的公共点，若f (c)＝0，且0＜x＜c时，f (x)＞0．

(1)试比较与c的大小；

(2)证明：－2＜b＜－1；
(3)当c＞1,t＞0时,求证:＞0．

2．已知函数： （为常数）．

（1）当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求函数f(x)的值域；

（2）试问：是否存在常数m使得f(x)+f(m－x)+2=0对定义域内的所有x都成立；若有，求出m ；若没有，请说明理由。

（3）若函数 在x 时的值域为，求实数a的取值范围。

3．已知（，）是直线与圆的交点，求 的取值范围

4．已知函数f(x)=,(e为自然对数的底数).

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)设不等式f(x)> a x的解集为P，且{x|0点x点2}P，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)设nN*，探索的整数部分，并证明你的结论.

四、函数方程与迭代

1. 函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数( ).

(A) 恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在

2. 设,而,记,则=_____.

3．设定义在R上的函数,满足当时,且对任意有

一求；二求证:对任意

三解不等式;四解方程