Question

一道很难的初中数学题

如图，已知AC=12，BD=2倍根号7（不会打根号），角BCA=120度，AD为角BAC平分线，求AD的长度

要求写出辅助线做法（最好附上图）及证明过程

Answer 1

解：过点D分别做AB的垂线和AC延长线的垂线，交AB于点E，交AC延长线于点F
则有：DE⊥AB DF⊥FA 且 DE=DF(角平分线定理)
Rt△ADE ≌ Rt△ADF AE=AF
∠DCF=180°－∠BCA＝60°
设 CF=x BE=y
在Rt△DFC中，∠CDF=30°，
则有 CD=2CF=2x
DF=√3(根号3倍)CF=√3x， DE=DF=√3x
在△ABC中，AB＝AE＋BE＝12＋x＋y（其中AE=AF=12＋x，BE=y）
BC＝BD＋CD＝2﹙√7＋x﹚（其中BD=2√7，CD=2x）
AC＝12
∠BCA＝120° （cos120°＝﹣1/2）
根据余弦定理，可列出：
AB²＝BC²＋AC²－2BC×AC×cos∠BCA
已知条件代入式中，可得：
﹙12＋x＋y﹚²＝ 2²﹙√7＋x﹚²＋12²－2×12×2﹙√7＋x﹚（﹣1/2）
化简可得：
y²－3x²＋(2x＋24)y－4(7＋6√7)＝0 设为①式
在Rt△DEB中，根据勾股定理可列出：
DE²＋BE²＝BD² (Rt△两个直角边的平方和等于斜边的平方)
DE＝√3x ， BE＝y ， BD＝2√7
代入式中，可得：
3x²＋y²＝28 设为②式
①式和②式组成一个关于x，y的方程组，
解方程组得到一个关于x 的方程
√（28－3x²）＝3（4√7＋x²）／（x＋12）
两边平方去根号可得：
28－3x²＝9（4√7＋x²）²／（x＋12）²

（方程是1元4次方程，化简很复杂，而且打字太费劲，这里就不解了，明白本题的计算思路和方法就可以了。）
解出符合题意的实数根x值后，在Rt△AFD中，利用勾股定理列出
AD²＝DF²＋AF² (其中DF=√3x，AF=FC+AC=x+12)
AD²＝3x²＋（x＋12）²
把x值代入，可求得AD的值。

解题思路：利用角平分线定理设定出2条辅助线
根据勾股定理和余弦定理列出两个等式，把已知条件和未知数代入等式中，
得到方程组，求出设定未知数的值
再根据勾股定理求出AD的长度。
希望对楼主有所帮助。
我这儿发不了图，看楼下热心网友的图吧。

追问

终于有一个靠谱的了，但是4次方程和余弦定理都不是初中范围内的，可以不用这两个知识吗？

可以分别过点B、D做AC的垂线然后用角平分线大定理再用勾股定理但还是会出现4次方程

追答

感觉这题出的不好，应该让学生掌握的是解题的思路，而不是化解复杂的繁分式，你的方法也不错，总之是要想办法找到关系式。代入已知和设定的参数，求出未知数。

Answer 2

其实不用辅助线就可以呀，
根据角平分线定理得：BD/CD=AD/AC 变形得：AD*CD=24√7 ① 注：√为根号
根据余弦定理得：cosC=（CD*CD+AC*AC-AD*AD）/(2AC*CD)=-0.5 ②
带入所有已知数据可以得到AD和AC两个未知数
由②得CD*CD+144-AD*AD=-AD*CD=-24√7 ③
联合①③即可求出结果，只不过数据有点复杂、不好算
结果：X=√[12√（61+12√7）+12√7+77]
根据经验，结果这么复杂，应该有问题
你参考参考别人的答案，自己再算几遍

Answer 3

问一句，有学过“角平分线定理”么？学过就很简单了，没学过就到网上看看人家怎么证明就可以了，很好用的

Answer 4

将C点沿着AD翻折致AB，可以发现AB=BD+AC
则可以用余弦定理求出CD，同理求出AD
虽然没有图，但是方法够简单，完全有公式依据，一代就ok

追问

设点C的对称点为H，如何证明BH=BD？

追答

角平分线相等，公共边相等，翻折边相等
初中有这个定理的，放心用，说一下是翻折就好了，说了是在AB上做AH=AC就可以了，
有时候定理没学，换个说法就可以了

Answer 5

，

顺序有点乱了  自己排排

追问

追答

什么？

追问

谁告诉你E、D、A共线的，你做的是平行四边形，但连接ED后EDA不一定共线

追答

由于平行四边形中 每一条对角线不是平分一组对角吗 那里题目不是说ad是角bac的角平分线吗

追问

你记混了，菱形、正方形的对角线是平分一组对角的

追答

不是吧 那么 不好意思咯

Answer 6

没有算  初中知识忘差不多了  你自己算一下 看能算出来不   希望对你有帮助！初中的数学 ，要用好条件，善于填辅助线，每个条件都会挖掘出很多信息的  祝你高考成功！！

追问

三角形DCA不可能与三角形BCA相似，