Question

已知实数X，y满足(X-2)²+y²=3，求|x一y十4|的最值。

Answer 1

解：
利用三角代换
∵(x-2)²+y²=3
令x=2+√3cosΘ，y=√3sinΘ
则x-y+4
=2+√3cosΘ-√3sinΘ+4
=√6*[cosΘ*(√2/2)-sinΘ*(√2/2)]+6
=√6*[cosΘ*cos(π/4)-sinΘ*sin(π/4)]+6
=√6cos(Θ+π/4)+6>0（因为-1≤cos(Θ+π/4)≤1）
∴|x-y+4|=√6cos(Θ+π/4)+6
∴最大值是√6+6，最小值是-√6+6。

Answer 2

画个草图，即可简单求解

前面满足的方程是一个圆心在(2,0)，半径为√3的圆

后面要求的|x-y+4|是圆上的点到直线x-y+4=0的距离的√2倍

圆心到直线的距离为d=|2-0+4|/√2=6/√2=3√2

易知圆上点到直线的最短距离为d1=d-r=3√2-√3

       圆上点到直线的最长距离为d2=d+r=3√2+√3

∴|x-y+4|的最小值为√2d1=6-√6

                最大值为√2d2=6+√6

追问

为什么|x-y+4|是圆上的点到直线x-y+4=0的距离的√2倍？

追答

设圆上的点为P(x,y)，则点P到直线x-y+4=0的距离就是
d=|x-y+4|/√2，∴|x-y+4|=√2d，即是...距离的√2倍