已知实数X,y满足(X-2)²+y²=3,求|x一y十4|的最值。
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2013-05-12 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识,尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖,期望能为你答疑
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解:
利用三角代换
∵(x-2)²+y²=3
令x=2+√3cosΘ,y=√3sinΘ
则x-y+4
=2+√3cosΘ-√3sinΘ+4
=√6*[cosΘ*(√2/2)-sinΘ*(√2/2)]+6
=√6*[cosΘ*cos(π/4)-sinΘ*sin(π/4)]+6
=√6cos(Θ+π/4)+6>0(因为-1≤cos(Θ+π/4)≤1)
∴|x-y+4|=√6cos(Θ+π/4)+6
∴最大值是√6+6,最小值是-√6+6。
利用三角代换
∵(x-2)²+y²=3
令x=2+√3cosΘ,y=√3sinΘ
则x-y+4
=2+√3cosΘ-√3sinΘ+4
=√6*[cosΘ*(√2/2)-sinΘ*(√2/2)]+6
=√6*[cosΘ*cos(π/4)-sinΘ*sin(π/4)]+6
=√6cos(Θ+π/4)+6>0(因为-1≤cos(Θ+π/4)≤1)
∴|x-y+4|=√6cos(Θ+π/4)+6
∴最大值是√6+6,最小值是-√6+6。
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追问
为什么|x-y+4|是圆上的点到直线x-y+4=0的距离的√2倍?
追答
设圆上的点为P(x,y),则点P到直线x-y+4=0的距离就是
d=|x-y+4|/√2,∴|x-y+4|=√2d,即是...距离的√2倍
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