Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A,B,C的对边，已知3（b²+c²）＝3a²+2bc

（1）若sinB＝√2cosC，求tanC的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积S＝√2/2，且b＞c，求b，c

Answer 1

由题， 3(b²+c²)=3a²+2bc
所以，3(b²+c²-a²)=2bc
由余弦定理可得
cosA=(b²+c²-a²)/2bc=1/3
又，(cosA)²+(sinA)²=1
所以，(sinA)²=1-1/9=8/9
因为，A为三角形内角，sinA>0
所以，sinA=2√2/3

（1）
因为，sinB=√2cosC，且 sinB＝sin(A+C)
所以，sin(A+C)=√2cosC
即， sinAcosC+cosAsinC=√2cosC
即， (2√2/3)×cosC+(1/3)×sinC=√2cosC
即， (1/3)×sinC=(√2/3)×cosC
所以， tanC=sinC/cosC=√2

（2）
因为，S=(1/2)×bcsinA=√2/2
所以， bc×(2√2/3)=√2
解得， bc=3/2
由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA
所以， 4=b²+c²-2×(3/2)×(1/3)
解得， b²+c²=5
所以，
(b+c)²=b²+c²+2bc=8
(b-c)²=b²+c²-2bc=2
因为，b>c>0
所以，
b+c=2√2
b-c=√2
解得，b=3√2/2， c=√2/2

Answer 2

解：
（1）
∵3(b²+c²)=3a²+2bc
∴3(b²+c²-a²)=2bc
∴(b²+c²-a²)/2bc=1/3=cosA（余弦定理）
∵cos²A+sin²A=1
∴sin²A=1-1/9=8/9
∴sinA=2√2/3
（1）sinB=√2cosC
∴sin(A+C)=√2cosC
∴sinAcosC+cosAsinC=√2cosC
∴(2√2/3)cosC+(1/3)sinC=√2cosC
∴(1/3)sinC=(√2/3)cosC
∴tanC=sinC/cosC=√2
（2）S=(1/2)bcsinA=√2/2
∴bc*(2√2/3)=√2
∴bc=3/2 ①
由余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴4=b²+c²-2*(3/2)*(1/3)
∴b²+c²=5②
∴(b+c)²=b²+c²+2bc=8
(b-c)²=b²+c²-2bc=2
∴b+c=2√2，b-c=√2（∵b>c）
∴b=2√2/3, c=√2/2

Answer 3

先根据已知条件算出cosA 再用sinB=sin（A+C)=........=根号2cosC 再算tanC
根据tanC算出sinC 在用面积算出b 最后用条件算c