Question

已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称

（1）求证：f(x)是周期为4的周期函数
（2）若f(x)=√x（0<x≤1），求x∈[-5,-4]时，函数f(x)的解析式

Answer 1

（1）因为f(x)的图象关于x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x+1)=-f(x-1).
所以f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以f(x)是周期为4的函数.
（2）x∈[-5,-4]时，x+4∈[-1,0]
-x-4∈[0,1].
x∈[-5,-4]时，f(x)=f(x+4)=-f(-x-4)=-√(-x-4).

Answer 2

f(x)是定义域在R上的奇函数，有f(-x)=-f(x),
图像关于直线x=1对称,有f(x+2)=f(-x)=-f(x). 所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).
即f(x)是周期为4的周期函数。设x∈[-1,0].则-x[0,1].
f(-x)=√-x,所以f(x)=-f(-x)=-√-x
设x∈[-5,-4]，则x+4∈[-1,0].又周期为4
∴f(x)=f(x+4)=-√-(x+4)