Question

如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P,连接CP。

（1）当圆O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时圆O的半径r的长。
（2）随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围。
（3）当切点P在何处时，圆O的半径r有最大值？试求出这个最大值。

Answer 1

⑴AB=5，AC、AP都是圆的，圆心在BC上，AP=AC=3，∴PB=2，

过P作PQ⊥BC于Q，PQ/PB=BQ/BC=AC/AB=3/5，∴PQ=6/5，BQ=8/5，

∴CQ=BC-BQ=12/5，∴PC=√(PQ^2+CQ^2)=6√5/5，

过O作OR⊥PC于R，CR=1/2PC=3√5/5，

又OC/CR=PC/CQ，OC=3/2，即r=3/2。

⑵最短PC为AB边上的高：12/5，最大PC=BC=4，

∴12/5≤PC≤4

⑶当P与B重合时，圆最大。这时，O在BD的垂直平分线上，

过O作OD⊥BC于D，由BD=1/2BC=2，

∵AB是切线，∴∠ABO=90°，

∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，∴∠ABC=∠BOD，

∴BD/OB=sin∠BOD=sin∠ABC=BC/AB=4/5，

∴OB=5/2。

即半径最大值为5/2。