Question

λ取何值时,线性方程组(1+λ)x1+x2+x3=0,x1+(1+λ)x2+x3=λ， x1+x2+(1+λ)x3=λ的平方

(1)有唯一解;(2)无解；(3)有无穷多解，并求出全部解。

Answer 1

你学过线性代数了吧？看解法
解：
由题意得原方程组的系数矩阵A与增广矩阵B为
| 1+λ 1 1 |
A = | 1 1+λ 1 |
| 1 1 1+λ |

| 1+λ 1 1 0 |
B= | 1 1+λ 1 λ |
| 1 1 1+λ λ |

对B做初等变换得
| 1+λ 1 1 0 | | 1 1 1+λ λ |
B= | 1 1+λ 1 λ | = | 0 λ -λ 0 |
| 1 1 1+λ λ | | λ 0 -λ -λ |

| 1 1 1+λ λ |
= | 0 λ -λ 0 |
| 0 0 -λ^2-3λ -λ-λ^2 |

讨论如下：
（1）当λ≠0且λ≠-3时，r(A)=r(B)=3，此时有唯一解
此时可解得
(x1 x2 x3)=( 2λ/(λ+3) -(λ+1)/(λ+3) (λ+1)/(λ+3) )
（2）当λ=-3时， r(A)=2<r(B)=3，此时方程组无解
（3）当λ=0时，r(A)=r(B)=1<3，此时方程组有无穷解
基础解系为
| 1 | | 1 |
ζ1= | -1 | ζ2= | 0 |
| 0 | |-1 |
|x1|
所以方程组的解为 |x2|=k1* ζ1+k2* ζ2(其中k1与k2为任意实数)
|x3|
注意：答题时要书写规范，我写的就不规范，矩阵你应该会写吧，可别写三个小竖杠