Question

关于数学分析的证明题

设函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上有连续偏导数，且f(x,y)=g(x,y),对任意A(x,y)∈ ∂D,求证：存在X0∈D^0，使得▽f(X0)=▽g(X0)

Answer 1

设h(x,y) = f(x,y)-g(x,y).
则h(x,y)在D上有连续偏导数, 且在∂D上恒等于0.
由h(x,y)连续, D是有界闭区域, h(x,y)可在D上取得最大最小值.

若最大最小值都是在∂D上取得, 即有h(x,y)的最大最小值都是0.
h(x,y)恒等于0, f(x,y) = g(x,y)对任意(x,y) ∈ D成立.
于是▽f(x,y) = ▽g(x,y)也对任意(x,y) ∈ D成立, 自然也对(x,y) ∈ D^0成立.

若最大最小值不都在∂D上取得, 设h(x,y)在(x0,y0) ∈ D^0处取得最大值或最小值.
则有▽f(x0,y0)-▽g(x0,y0) = ▽h(x0,y0) = 0.
即存在(x0,y0) ∈ D^0, 使▽f(x0,y0) = ▽g(x0,y0).