Question

已知cosα+cosβ=1/2,sinα+sinβ=1/3,求cos(α+β)的值

Answer 1

cosα+cosβ=1/2,得cos^2α+cos^2β+2cosαcosβ=1/4(1)
得sinα+sinβ=1/3得,sin^2α+sin^2β+2sinαsinβ=1/9(2)
(1)+(2) 2+2cos(α-β)=13/36
1+cos(a-B)=13/72
(1)-(2)
cos2a+cos2B+2cos(a+B)=5/36
2cos(a+B)cos(a-b)+2cos(a+b)=5/36
2cos(a+B)[13/72]=5/36
cos(a+B)=5/13

Answer 2

由已知sinα+sinβ=1/3①
cosα+cosβ=1/2②
①²+②²得：2+2cos（α-β）=13/36 ,1+cos（α-β）=13/72
②²-①²得：cos2α+cos2β+2cos（α+β）=5/36
即2cos（α+β）〔cos（α-β）+1〕=5/36
∴cos（α+β）=5/36 ÷ 2 ÷ 13/72 = 5/13

追问

即2cos（α+β）〔cos（α-β）+1〕=5/36
这步怎么求得的？

追答

cosX·cosY=(1/2)[cos(X+Y)+cos(X-Y)] (积化和差)
令2x=X,2y=Y,两端同乘2
2cos2xcos2y=cos2(x+y)+cos2(x-y)
令x+y=α，x-y=β，等式左右交换，

cos2α+cos2β=2cos(α+β)cos(α-β)