Question

设f(x)在(a,b)上可微,且除可数集外,有f'(x)=0,证明:f(x)=c(常数)

Answer 1

M=0时显然下面考虑M>0。

先证明一个命题：对于满足 f(x)在(-∞，+∞)上可微，且｜f'(x)｜≤M｜f(x)｜的f(x)，若f(a)=0，则在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上，f(x)≡0。

f(x)在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上有最大最小值，故|f(x)|在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上有最大值，设最大值为A≥0，|f(c)|=A。

A=|f(c)|=|f(a)+f'(ξ)(c-a)|=|f'(ξ)||c-a|≤M|f(ξ)||c-a|≤M×A×1/(2M)=A/2 (其中ξ在a和c之间)，所以A=0，知道在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上，f(x)≡0。

性质1

等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。

若a=b

那么a+c=b+c

性质2

等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。

若a=b

那么有a·c=b·c

或a÷c=b÷c （c≠0）

Answer 2