Question

若sinα+sinβ=√2/2，求cosα+cosβ的取值范围。要详解，急！！！！！！！！

若sinα+sinβ=√2/2，求cosα+cosβ的取值范围。要详解，急！！！！！！！！！

Answer 1

解：sinα+sinβ＝√2/2
则 (sinα+sinβ)^2=1/2 ①
令 cosα+cosβ=m
则(cosα+cosβ)^2=t^2 ②
由①+②得 (sinα+sinβ)^2+(cosα+cosβ)^2=1/2+m^2
sinα^2+sinβ^2+2sinα*sinβ+cosα^2+cosβ^2+2cosα*cosβ=1/2+m^2
2+2cos(α-β)=1/2+m^2
m^2=3/2+2cos(α-β)
又 -1≤cos(α-β)≤1
则 0≤m^2≤7/2
从而 -√14/2≤m≤√14/2
∴--√14/2≤cosα+cosβ≤√14/2

Answer 2

sinα+sinβ=√2/2
则(sinα+sinβ)^2=1/2……①
设cosα+cosβ=t
则(cosα+cosβ)^2=t^2……②
①+②得
(sinα+sinβ)^2+(cosα+cosβ)^2=1/2+t^2
展开得到
sinα^2+sinβ^2+2sinα*sinβ+cosα^2+cosβ^2+2cosα*cosβ=1/2+t^2
整理得
2+2cos(α-β)=1/2+t^2
t^2=3/2+2cos(α-β)
因为-1≤cos(α-β)≤1
所以0≤t^2≤7/2
所以-√14/2≤t≤√14/2
所以-√14/2≤cosα+cosβ≤√14/2

Answer 3