Question

函数f(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2,g(x)=k^2x^2+kx+1其中k∈

(1)设函数p（x）=f(x)+g(x)，若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的范围？
p'(0)*p'(3)<0为什么不对？
（2）设函数q(x)= g（x），x》0， f（x）x<0。是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q'(x2）=q'(x1）成立？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由。
第二问直接没思路啊。。

Answer 1

(1)p(x)=f(x)+g(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2+k^2x^2+kx+1=x^3+(k-1)x^2+(k+5)x-1
显然p（x）在区间（0，3）上可微，∵p(x)在区间（0，3）上不单调，
∴必有a∈（0，3），使得p'（a）=3a^2+2(k-1)a+(k+5)=0，
解出k=u(a)并注意0<a<3,求出k的最大最小值，就是k的范围了。这一步我说了思路，相信你能作了。显然不会是p'(0)*p'(3)<0，对吧。
（2）q(x)= g（x)=k^2x^2+kx+1，x≥0，而q(x)=f（x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2,,x<0。
∴q(x)是分段函数。且x≥0时，q'(x)= g'(x), x<0时，q'(x)=f'（x）,
于是，对任意给定的非零实数x1，是否存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q'(x2）=q'(x1），
只须分两种情况：
1.x1≥0时，q'(x1)= g'(x1）是一次式。如q'(x2）=q'(x1），则一定是x2<0,q'(x2）=f'(x2），
再看能否求出q'(x2）=f'(x2）=g'(x1）=q'(x1）的k值，若不能，说明不存在满足条件的k。反之，这时的k就求出了，再继续。
2..x1＜0时，q'(x1)= f'(x1）是二次式。如f'(x1）=m＝f'(x）有两个不同的负根，那么这两根就x1和x2；如f'(x1）=m＝f'(x）只有一负根，就要求x2>0,q'(x2）=g'(x2）时，
q'(x2）=g'(x2）=f'(x1）=q'(x1）的k值。这与1.的情况一样了。
只说了思路，自己作一下啊。