Question

1若正整数a,b,c满足a<b<c,且使得关于x，y的方程组2x+y=2013，y=|x-a|+|x-b|+|x-c|恰好只有一解,则c的最小

则c最小值是

Answer 1

答：
y=|x-a|+|x-b|+|x-c|
转化为：
x<=a，y=-3x+a+b+c，最小值：y=b+c-2a>0
a<=x<=b，y=-x+b+c-a，最小值：y=c-a>0
b<=x<=c，y=x+c-a-b，最小值：y=c-a>0
x>=c，y=3x-a-b-c，最小值：y=2c-a-b>0
整个函数的最小值在x=b处取得为：ymin=c-a
与直线2x+y=2013恰好有一个解，说明点(b，c-a)在该直线上：
2b+c-a=2013
c=2013+a-2b
要使得c有最小值，正整数a最小为1：
c=2013+1-2b>b，3b<2014
b最大为671，则c最小为：c=2014-2*671=672

所以：c最小值为672，此时b=671，a=1