Question

卡方分布均值怎么推导的

Answer 1

具体回答如图：

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

对于任意正整数x， 自由度为v的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。

扩展资料：

不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的。

把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1。

参考资料来源：百度百科——卡方分布

Answer 2

　　样本均值与样本方差
　　样本均值：X¯¯¯¯=∑ki=1Xik
　　样本方差：Var(X)=∑ki=1|Xi−X¯¯¯¯¯|k
　　正态分布
　　f(x|μ,σ2)=1(2π)1/2exp[−12(x−μσ)2] , μ为均值，σ为标准差，μ决定了中心轴的位置，σ决定了函数的高度。
　　标准正态函数：
　　f(x|0,1)=1(2π)1/2exp(−12x2)
　　伽马分布
　　首先说说伽马分布的由来，伽马分布是基于著名的伽马函数推导而来，过程如下
　　Γ(a)=∫∞0xa−1e−xdx伽马函数
　　Γ(n)=(n−1)Γ(n−1)=(n−1)!Γ(1)
　　Γ(12)=π12
　　设x=μβ=φ(μ)
　　根据x=φ(μ),∫f(x)g(x)dx=∫f∘φ(μ)g∘φ(μ)φ′(μ)
　　得到：Γ(a)=βa∫∞0μa−1e−μβdμ
　　所以伽马分布（概率密度函数）为： f(μ|a,β)=βaΓ(a)μa−1e−μβ
　　这样，在对 f(μ|a,β)求∫+∞0的时候(伽马分布的概率分布函数)，结果永远等于1.
　　卡方分布
　　公式：f(x)=12n/2Γ(n/2)xn/2−1e−x/2

　　若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。

Answer 3

chi2(n) <=> gamma(n/2,1/2)，利用gamma分布导出的。可参考复旦大学出版社的《数理统计讲义》

Answer 4