Question

高数三重积分的问题，内有图片

Answer 1

由于被积函数是只关于z的函数，所以宜用切片法。
横截面的面积Dz是x² + y² = 1 - z²、以√(1 - z²)为半径的圆
所以∫∫Dz dxdy = π[√(1 - z²)]² = π(1 - z²)
∫∫∫Ω e^|z| dV
= ∫(- 1→1) e^|z| dz ∫∫Dz dxdy、e^|z|是偶函数、积分变为两倍
= 2∫(0→1) e^|z| dz * [π(1 - z²)]、e^z在[0，1]内 > 0，所以e^|z| = e^z
= 2π∫(0→1) (1 - z²)e^z dz
= 2π∫(0→1) (1 - z²) d(e^z)
= 2π[(1 - z²)e^z] |(0→1) - 2π∫(0→1) e^z d(1 - z²)
= 2π(0) - 2π - 2π∫(0→1) e^z * (- 2z) dz
= - 2π + 4π∫(0→1) z d(e^z)
= - 2π + 4π[ze^z] |(0→1) - 4π∫(0→1) e^z dz
= - 2π + 4πe - 4π(0) - 4π[e^z] |(0→1)
= - 2π + 4πe - 4π(e - 1)
= - 2π + 4π
= 2π

Answer 2

原式=2π∫[0,1]e^z(1-z^2)dz
=2π∫[0,1]e^zdz-2π∫[0,1]z^2*e^zdz
=2π(e-1)-2πz^2e^z[0,1]+4π∫[0,1]ze^zdz
=2π(e-1)-2πe+4πze^z[0,1]-4π∫[0,1]e^zdz
=2π(e-1)-2πe+4πe-4πe^z[0,1]
=-2π+4πe-4π(e-1)
=2π

Answer 3

∫∫∫e^︱z︱dz=2π∫(0,1)e^z(1-z^2)dz=2π[(1-z^2)e^z(0,1)-‍∫e^z(-2z)dz‍‍]
=2π[-1+2∫(0,1)ze^zdz‍‍]=2π[-1+2(ze^z)(0,1)-2e^z(0,1)]=2π

追问

请问dv是怎样转换为dz的？
这个方法没学过看不太懂。。。

追答

由于被积函数仅是z的函数，故可把三重积分化为先在平行于xoy面内的二重积分、再沿z轴积分的积分。在平行于xoy面内做二重积分时，∫∫(Dz)e^zdxdy=e^z∫∫(Dz)dxdy=e^z×π(1-z^2)
这里∫∫(Dz)dxdy就是圆x^2+y^2=1-z^2的面积。