Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x+1 求f（π/6）的值 求f（x）的单调增区间

2cos²x 导数是不是 -2sinx？

要详细过程解析 谢谢

Answer 1

f(π/6)=sin(2*π/6)+2cos²(π/6)+1
=√3/2+2*(√3/2)²+1
=√3/2+3/2+1
=√3/2+5/2

f（x）=sin2x+2cos²x+1
=sin2x+(2cos²x-1)+2
=sin2x+cos2x+2
=√2(√2/2*sin2x+√2/2cos2x)+2
=√2sin(2x+π/4)+2
根据函数图像特点可知：
单调增区域为：2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2，k为整数
2kπ-3π/4≤2x≤2kπ+π/4，k为整数
kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8，k为整数
则单调增区间为：[kπ-3π/8，kπ+π/8]，k为整数

另：2cos²x=cos2x+1
(2cos²x)'=(cos2x+1)'=-sin2x*2=-2sin2x

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Answer 2

f(x)=sin2x + 2cos²x+1
=sin2x+cos2x+2
=√2(√2/2sin2x+√2/2cos2x)+2
=√2sin(2x+π/4)+2
f(Pai/6)= sinPai/3+2cos²Pai/6+1=根号3/2+2*3/4+1=根号3/2+5/2

单调增区间是2kPai-Pai/2<=2x+Pai/4<=2kPai+Pai/2
即有[kPai-3Pai/8,kPai+Pai/8]

2cos²X的导数是2*2cosx*(cosx)'=-4cosxsinx=-2sin2x