Question

求助：一道初中几何操作计算题。

现有一张缺损一角的矩形纸片，如图。在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，AE=3cm，AF=4cm，要从中裁出一张矩形纸片，则裁出的面积最大的矩形纸片的对角线长为多少cm？

本题在没有明确说明以什么方式裁剪的情况下，是否需要讨论？如以下面方式剪裁：

等等。到底哪种方式裁剪得到的矩形面积才是最大的呢？如何比较并说理？

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Answer 1

这是二次函数题。

只要对此图进行讨论就可以了。

延长PQ交AD于M，延长RQ交AB于N，

设QF=5X，则QM=3X，FQ=4X，∴QN=4-4X，

∴QR=10-3X，QP=8-(4-4X)=4+4X，

∴S=(10-3X)(4+4X)

=-12X^2+28X+40

=-12(X^2-7/3X+49/36)+12×49/36+40

=-12(X-7/6)^2+169/3

∴当X=7/6时，

S矩形最大=169/3。

追问

为什么只有这样面积才会最大，而不可能是其他情况呢?恐怕理由不足吧?

追答

不按这种做法，在矩形内作矩形，
根据矩形的对称性至少要剪去4块SΔAEF，
80-4SAEF=56<169/3。
这种情况还是EF为一边的情况，本题显然EF不能为一边，
所以要剪去更多。

追问

你的解法有误，正确答案应该是：当PQ=25/4，QR=25/3时，矩形最大面积为625/12，其对角线长为125/12，此时80-4SAEF=56>625/12，所以你的理由根本站不住脚！

追答

169/3=56.333333
625/12=52.0833333
所以625/12小于169/3

追问

纠正一下你的解题过程：
延长PQ交AD于M，延长RQ交AB于N，
设QF=5X，则QM=3X，FM=4X，∴QN=4-4X，
∴QR=10-(4-4X)=6+4X，QP=8-3X，
∴S=(6+4X)(8-3X)
=-12X^2+14X+48
=-12(X^2-7/6X+49/144)+12×49/144+48
=-12(X-7/12)^2+625/12
∴当X=7/12时，
S矩形最大=625/12。

Answer 2

肯定是第二种最大。

实际上一共有4种可能。
你作的是其中2种。

1.过F作BC的垂线。这样可以得一面积为48
2.过E作CD的垂线。这样可以得一面积为50
3.图2.Q为EF中点。　这样可以得面积为52
4.图1.这种可以直接排除。因为4面都在丢。所以不计算也知道一定小。

追问

“图1.这种可以直接排除。因为4面都在丢。所以不计算也知道一定小。”这是什么道理？另外，矩形的情况一共只有4种可能？你能从理论上加以说明吗？

Answer 3

①平移AD至ER得矩形EBCR面积最大10×（8－3）＝50（cm²）。
其对角线＝√（10²＋5²）＝5√5（cm）。
②反思：谁裁下面积最小，则水所得矩形面积最大。
上面 ①裁下面积＝½3×4＋（10－4）（8－3）＝6＋30＝36（cm²）。
而其他裁法无论目测、计算显然大于36cm²。

追问

你的方法明显不对啊！

追答

请在纸上画、剪。

Answer 4

你建立直角坐标系，C为原点，CB为X轴，CD为Y轴，可以想到就是求Q（x1,y1）的x1*y1最大值，于是你列出直线EF的方程式，可用两点式轻易得出，求极值--最大值你们学过了吧？
话说你们学过导数没有啊？

追问

你说的是第二种裁剪方式吧？可为什么这样裁剪所得矩形面积会最大呢？而这正是我所要问的。

Answer 5

可是为什么面积最大，对角线就会有一个最大值呢？如果按照对角线的平方根据勾股定理列一个二次函数，然后再求它的最大值可以么？