Question

你好，老师，我想请教两个问题，谢谢详解哦！

1. .已知函数f(x)=cos∏x/[(x2+1)(x2-4x+5)],x∈R,给出下列四个命题;(1).函数f(x)是周期函数。（2）.函数f(x)既有最大值又有最小值。（3）.函数f(x)的图像有对称轴。（4）.对于任意x∈(1,0),函数f(x)的导函数恒小于0.其中真命题的序号是（），为什么？
2.设S是整数集Z的非空子集，如果∀a,b∈S,有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪U＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）。A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的。　B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的。C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的。　D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的。

Answer 1

1
f（x）＝cosπx/[(x²＋1)(x²－4x＋5)]
分母会随|x|的增大，无限增大，
当|x|-->∞时，f(x）-->0
∴ f(x)不是周期函数

2
f（x)=cosπx/{(x²+1)[(x-2)²+1]}
f(2-x)=cos(2π-πx)/{[(2-x)²+1](x²+1)}=f(x)
∴f(x)图像关于x=1的对称
而且(x²+1)[(x-2)²+1]
=x²(x-2)²+x²+(x-2)²+1
≥x²(x-2)²+2x(2-x)+1=(x+2-x)²=4
当x=2-x,x=1时，取等号
即当x=1时，f(x)分母取得最小值4，
而当x=1时，分子cosπx取得最小值-1，
∴x=1时，f(x)取得最小值 -1/4
当x=0,或x=2时，f(x)分子cosπx=1最大为1
此时，f(x)取得最大值，
以后当|x|-->+∞时，分母无限增大，f(x)无限减小
∴f(x)既有最大值又有最小值 第二题设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（　　）
A.T，V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的