Question

已知非齐次线性方程组X1+X2-2X3=1;X1-2X2+X3=2;aX1+bX2+cX3=d的两个解为：η1 =[2,1/3,2/3]^T和η2=[1/3,

已知非齐次线性方程组X1+X2-2X3=1;X1-2X2+X3=2;aX1+bX2+cX3=d的两个解为：η1
=[2,1/3,2/3]^T和η2=[1/3,-4/3,-1]^T，则该方程组的全部解为？

Answer 1

这题有点意思

由于 (3/5)η1-η2=(1,1,1)^T 是导出组的解
所以 a+b+c=0
由于 η1,η2 是方程组的解, 所以有
2a+(1/3)b+(2/3)c=d
(1/3)a-(4/3)b-c=d
即有
c+a+b=0
2c-3d+6a+b=0
-3c-3d+a-4b=0
1 0 1 1
2 -3 6 1
-3 -3 1 -4
-->
1 0 1 1
0 1 -4/3 1/3
0 0 0 0
0 0 0 0
(c,d,a,b)=(3k1+3k2,4k1+k2,-3k1,-3k2)

原方程组的增广矩阵为
1 1 -2 1
1 -2 1 2
-3k1 -3k2 3k1+3k2 4k1+k2

r2-r1,r3+3k1r1
1 1 -2 1
0 -3 3 1
0 3k1-3k2 -3k1+3k2 7k1+k2

r3+(k1-k2)r2
1 1 -2 1
0 -3 3 1
0 0 0 8k1

由于方程组有解,所以 k1=0.
-->
1 0 -1 4/3
0 1 -1 -1/3
0 0 0 0
方程组的全部解为 (4/3,-1/3,0)^T+k(1,1,1)^T.

唉, 整了半天就是前两个方程的解