Question

设A为三阶矩阵，三维列向量a1,a2,a3线性无关，且满足Aa1=2a1+a2+a3, Aa2=2a2,Aa3=-a2+a1

求可逆矩阵P和对角矩阵C，使得P^-1AP=C

Answer 1

解: 由已知 A(a1,a2,a3)=(Aa1,Aa2,Aa3)
=(2a1+a2+a3,2a2,-a2+a1)
=(a1,a2,a3)B
其中 B=
2 0 1
1 2 -1
1 0 0
由于a1,a2,a3线性无关, 所以 (a1,a2,a3)^-1A(a1,a2,a3)=B

|B-λE|=
2-λ 0 1
1 2-λ -1
1 0 -λ
= (2-λ)[-λ(2-λ)-1]
= (2-λ)(λ^2-2λ-1)

所以B的特征值为 2,*,* 后两个是无理数
检查一下 Aa1=2a1+a2+a3, Aa2=2a2,Aa3=-a2+a1 是否正确

追问

到这会求，但怎么求P呢，用平时的方法求B的特征向量答案很难看~

追答

是的, Aa3 是不是 Aa3= -a1+a2 ?!
估计是题目有误

Answer 2

数形结合是解体思路