Question

高中数学 直线与圆

x²+y²=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，
求实数c的取值范围。

Answer 1

这题的关键在于12x-5y+c=0  这条线要于圆相交，并且圆心（原点）距离 该直线的距离不能太大；

CAD怎么用我都忘记了 不然我可话给你，我就用嘴说了

如果直线过原点那么这四个点还关于直线对称， 这个应该很好理解；

如果直线往一边偏（与c的大小有关，我们不妨当做是c变大，直线向上移动）；直线上面的2个点就会慢慢靠近，偏到一定位置，2个点就重合了； 从4个点变成了3个点；继续移动的话，就只有2个 ，1个点  最后没有了；

这就是其向上移动的极限；向下也是同样的道理；

 

下面我们就来说这个位置怎么求

首先确定大小：

上面说的极限位置，是刚好变成3个点的时候，图中A，B，C3个点到直线L的距离都是1，而圆的半径是2，那么此时原心O到直线L的距离就是1了；

就是说原点O到直线L的距离不大于1就好了

注意不能等于1

原心O到直线L的距离就用点到直线的距离公式即可

{

已知直线Ax＋By＋C＝0 和一点坐标（Xo，Yo），，那么这点到这直线的距离就为：
D=│AXo＋BYo＋C│／√（A²＋B²）

}

计算 ：|C|/13<1，可得：-13<c<13

Answer 2

解：圆心（0,0）半径2，直线斜率为12/5
过圆心的直线：y=-5/12x
代入圆，得到交点A（24/13,-10/13)、B（-24/13,10/13）
在线段AB上，点C、D，满足AC=BD=1∴OC=OD=1/2OA=1/2OB
∴C(12/13,-5/13) d(-12/13,5/13)
代入已知直线，得到c=±13
∴实数c的取值范围: -13≤c≤13

Answer 3

看图，动画

追问

你这个很好……不过我已经采纳过了= =。

追答

没关系，只是让你更明白，其中的道理

追问

谢谢。

Answer 4

用点到直线的距离公式D=|C|/根号(12^2 5^2)<=3，得-13<=C<=13，希望采纳

Answer 5

c的取值范围：-13<c<13

追问

过程……

追答

由题意可知圆的半径r=2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离d<1，即|c|/13<1，可得：-13<c<13