Question

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小

（1）求∠ADE的度数（2）在BD上画出点P的位置，并写出作法
（3）求△PCE周长的最小值

Answer 1

解答：
⑴、∵∠ABC=120°
∴∠A=∠C=60°
∴△ADB与△DCB都是等边△﹙有一个角=60°的等腰△是等边△﹚
而DE是等边△DCB的中线，
∴DE⊥BC，∴∠BDE=30°
∴∠ADE=90°
⑵、连接AC，AE，则AE与DB相交于P点，
这时候的P点，使△PCE的周长最小；
证明：连接CP，
∵AC与DB互相垂直平分，
∴PA=PC，
∴△PCE的周长=PC＋PE＋CE=PA＋PE＋CE=AE＋CE
∵CE是定值，
∴由两点之间，线段最短公理得到PC＋PE=AE。
⑶、∵∠CDE=30°
∴∠ADE=120°－30°=90°
∴由勾股定理得：DE=2√3
再由勾股定理得：AE²=AD²＋DE²=28
∴AE=2√7
∴△PCE的最小周长=2＋2√7

Answer 2

1、∵ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠A=∠C=60° AB=BC=CD=AD
∠ABC=∠ADC=120°
∴△ABD和△BCD是等边三角形
∴∠C=∠BDC=60°
∵E是BC的中点，即DE是△BCD的中线
∴DE也∠BDC的角平分线
∴∠EDC=∠BDE=30°
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-30°=90°
2、以BD为对称轴，做E的对称点E′，连接E′C,交BD于P，
连接PE,PC，△PCE的周长最小。
3、由于E点和E′对称（EE′交BD于O)
∴EE′⊥BD 即∠BOE′=∠BOE=90°
∵EO=E′O OB=OB
∴△BOE≌△BOE′
∴∠OBE′=∠OBE BE=BE′
∵∠OBE=∠ABO
∴E′在AB直线上 BE=BE′=EC=1/2AB=1
由余弦定理得
E′C²=BC²+BE′²-2BC×BE′×cos∠ABC
=4+1-2×2×1×(-1/2)
=5+2
=7
∴E′C=√7
∴△PCE的周长
=EC+PE+PC
=EC+E′C
=1+√7

追问

余弦定理没学过