Question

关于x的不等式(1+m)x^2+mx+m<x^2+1

关于x的不等式（1+m）x^2+mx+m＜x^2+1对x∈R恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

解：
(1+m)x²+mx+m＜x²+1
x²+mx²+mx+m＜x²+1
mx²+mx+m＜1
m(x²+x+1)＜1
m[x²+2×(1/2)x+(1/2)²+3/4]＜1
m[(x+1/2)²+3/4]＜1
m(x+1/2)²+3m/4＜1
m(x+1/2)²＜1-3m/4
1、当m＜0时，有：
m(x+1/2)²＜1-3m/4
(x+1/2)²＞1/m-3/4
应有：1/m-3/4＞0
解得：m＞4/3，与m＜0矛盾；
2、当m＞0时，有：
m(x+1/2)²＜1-3m/4
(x+1/2)²＜1/m-3/4
可见，无论m为何值，不可能有(x+1/2)²＜1/m-3/4恒成立
因此，题目无解。