Question

求数学高手，一道曲面积分的题。希望有详细解答，谢谢了！

计算∫∫ds/p 其中∑是椭球表面,p 为椭球中心到椭球表面的元素ds相切的平面之间的距离

Answer 1

设出椭球面∑的方程：F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0，则椭球中心即坐标原点。

步①，求椭球面∑上点(x,y,z)处的切平面π的方程：
椭球面∑的方程：F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
切平面π的法向量n={ F’x,F’y,F’z}={ 2x/a^2，2y/b^2，2z/c^2}
切平面π的方程：2x/a^2*(X- x)+2y/b^2*(Y-y)+2z/c^2*(Z-z)=0
整理得xX/a^2+yY/b^2+zZ/c^2-1=0

步②，求椭球中心即坐标原点到π的距离p：
利用点到平面的距离公式得到p=1/√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)

步③，求曲面积分∫∫∑1/pdS中的dS：
积分曲面即椭球面∑的方程：F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0
亦即z=±c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)★
利用隐函数求导公式，z’x=(-F’x)/(F’z)=(-xc^2)/(za^2)
z’y=(-F’y)/(F’z)=(-yc^2)/(zb^2)
则可求出dS=√1+(z’x )^2+(z’y)^2)dxdy
=c^2/┃z┃*√(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4) dxdy▲

步④，求该曲面积分∫∫∑1/pdS：
先要把这个积分的积分曲面即椭球面分成上下两片
然后用计算公式把两片上的曲面积分化成两个二重积分
注意这两个二重积分的积分区域，即上下两片椭球面分别投影到xoy面的投影【是相同的椭圆域】
而这两个二重积分的被积函数是【相同的】，注意一下★▲中的符号便可知
最终求得该曲面积分=（1/a^2+1/b^2+1/c^2）4∏abc/3。