Question

如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一个动点,PE⊥MC于点E,PF⊥BM于点F.(1)探索:当矩形ABCD的边A

如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一个动点,PE⊥MC于点E,PF⊥BM于点F.(当矩形ABCD的边AB与宽BC满足什么数量关系时,四边形PEMF为矩形?

Answer 1

【参考答案】

解：当AD=2AB时，四边巧亩胡形PEMF为矩形．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=1 2 AD，
∴耐念AB=AM=DM=CD，
∴∠孝拦ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

追答

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追问

在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF是正方形？说明理由

追答

（2）当P运动到BC中点时,矩形PEMF是正方形.
证明:由1问知,四边形PEMF是矩形
因为AM=MD=AB=CD,且∠BAD=∠ADC=90°,
所以∠ABM=∠MCD=45°
所以MC=MB,
在△BFP和△CEP中，
∠FBP=∠ECP ，∠FBP=∠CEP，BP=CP
所以△BFP和△CEP全等
所以FP=PE
因为矩形FPEM中邻边FP,PE相等
所以矩形FPEM是正方形.