Question

能给我答案吗 ∫x³arccosx/(√1-x²)dx

Answer 1

= (1/3)(1 - x²)^(3/2)arccosx - √(1 - x²)arccosx - 2x/3 - x³/9 + C

解题过程如下：

令θ = arccosx，则cosθ = x、- sinθ dθ = dx、sinθ = √(1 - x²)

∫ x³arccosx/√(1 - x²) dx

= ∫ cos³θ * θ/sinθ * (- sinθ) dθ

= - ∫ θcos³θ dθ

= ∫ θ(sin²θ - 1) d(sinθ)

= ∫ θ d[(1/3)sin³θ - sinθ]

= θ[(1/3)sin³θ - sinθ] - ∫ [(1/3)sin³θ - sinθ] dθ

= (1/3)θsin³θ - θsinθ + (1/3)∫ (1 - cos²θ) d(cosθ) + ∫ sinθ dθ

= (1/3)θsin³θ - θsinθ + (1/3)[cosθ - (1/3)cos³θ] - cosθ + C

= (1/3)θsin³θ - θsinθ - (2/3)cosθ - (1/9)cos³θ + C

= (1/3)(1 - x²)^(3/2)arccosx - √(1 - x²)arccosx - 2x/3 - x³/9 + C

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

令θ = arccosx，则cosθ = x、- sinθ dθ = dx、sinθ = √(1 - x²)
∫ x³arccosx/√(1 - x²) dx
= ∫ cos³θ * θ/sinθ * (- sinθ) dθ
= - ∫ θcos³θ dθ
= ∫ θ(sin²θ - 1) d(sinθ)
= ∫ θ d[(1/3)sin³θ - sinθ]
= θ[(1/3)sin³θ - sinθ] - ∫ [(1/3)sin³θ - sinθ] dθ
= (1/3)θsin³θ - θsinθ + (1/3)∫ (1 - cos²θ) d(cosθ) + ∫ sinθ dθ
= (1/3)θsin³θ - θsinθ + (1/3)[cosθ - (1/3)cos³θ] - cosθ + C
= (1/3)θsin³θ - θsinθ - (2/3)cosθ - (1/9)cos³θ + C
= (1/3)(1 - x²)^(3/2)arccosx - √(1 - x²)arccosx - 2x/3 - x³/9 + C