Question

已知f(x)=e^x-ax-1 (1)f(x)在(0,+无穷)上单调递增，求实数a的取值范围 (2)试分析方程f(x)=0的解的个数

Answer 1

（1）f'(x)=e^x-a>0
（i)如果 a<=0,则f'(x)>0恒成立
（ii)如果a>0则f'(x）>0需 x>lna由于f(x)在(0,+无穷)上单调递增所以lna<=0,a<=1
总之a<=1

(2) (a)当a<=0时无驻点。f(x)单调。且f(0)=0所以此时 f(x)=0有唯一实根x=0
(b),当a>0时。由于f(x)只有唯一驻点x=lna,且x<lna时f'(x)<0,x>lna时f'(x)>0
因此x=lna是最小值点
（I）若最小值f(lna)>0则，f(x)=0无解。即 a-alna-1>0时f(x)=0无解
（2）若f(lna)=0则f(x)=0有唯一解。此时 a-alna-1=0
(3) 若f(lna)<0则f(x)=0有两个实根，此时a-alna-1<0

Answer 2

f(x)=e^x－ax－1
则：
f'(x)=e^x－a

(1)
函数f(x)在(0，＋∞)上递增，则：
对一切x>0，恒有f'(x)=e^x－a≥0
a≤e^x
则：
a≤[e^x的最小值]，其中x>0
a≤1

(2)
f(x)=e^x－ax－1
则：
f'(x)=e^x－a
①若a≤0，则函数f(x)递增，最小值大于0，此时函数f(x)无零点，即f(x)=0无解；
②若a>0，则函数f(x)在(－∞，lna)上递减，在(lna，＋∞)上递增，则函数f(x)的最小值是：
f(lna)=a－alna－1：若0<a<1，此时方程f(x)=0有两解；若a=1，此时f(x)=0有唯一解；若a>1，此时f(x)=0两解。

Answer 3

f’（x）=e^x-a

1、当a>0时，令f’（x）=0，得x=lna

即当x∈（-∞，lna】是单调递减的，

当x∈【lna，+∞）是单调递增的。

2、当a=0时，无驻点，则f（x）=e^x-1,则（-∞，+∞）是单调递增的

3、当a<0时，无驻点，则（-∞，+∞）是单调递增的

Answer 4

解：
1. f'（x）=e^x-a
要单调递增 需要 f'（x）>0 在(0,+无穷)上
也就是e^x-a>0在(0,+无穷)上
也就是e^x>a在(0,+无穷)上
则0>=a