Question

一道简单的高数题

求平面2x-y+z-7=0和平面x+y+2z-11=0所交成二面角的平分面

Answer 1

很简单的，设P（x，y，z）是所求平面上任一点，
则 P 到两个已知平面距离相等，
即 |2x-y+z-7|/√6=|x+y+2z-11|/√6 ，
化简得 x-2y-z+4=0 或 x+z-6=0 。（注：一定是两个，就像两直线相交有两条角平分线一样）

Answer 2

2x-y+z-7=0的法向量是
（2，-1，1）归一后的模是√6，所以单位向量是（2/√6，-1/√6，1/√6）

x+y+2z-11=0的法向量是
（1，1，2）归一后的模是√6，所以单位向量是（1/√6，1/√6，2/√6）
两个单位向量相加就得到这个平分面的法向量了
（2/√6，-1/√6，1/√6）+（1/√6，1/√6，2/√6）=（3/√6，0，3√6）
所以平分面的方程是 3/√6x+3/√6z+D=0
现在就要求系数D了
结合2x-y+z-7=0和x+y+2z-11=0可以得到交线方程3x+3z-19=0
看比例，
3/√6：3=D：-19
得到D=-19√6，所以答案就是
3/√6x+3/√6z-19√6=0

Answer 3

由x+3y+z=2和3x+2y-4z=1得平面的两个法向量向量n1=（1，3，1），向量n2=（3，2，-4）;因为所求的平面与这两个平面垂直，所以所求平面的一个法向量n=n1Xn2=-14i+7j-7k
由平面点法式方程得：-14（x-2）+7(y-1)-7(z-2)=0.