Question

设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布（I）求U=Max{x1,x2,...xn}的数学期望。

（2）求V=Min{X1,X2,...,Xn}的数学期望。

Answer 1

所有关于min、max这种题都有一个固定的下手点，就是
U≤u→X[1]、X[2]…X[n]里面最大的都小于等于u→每个X[1]、X[2]…X[n]都小于等于u
每个都小就可以通过独立事件的概率乘法公式计算概率，所以U≤u的概率可以算出来，这就是U的分布函数，再对u求导就是分布密度，再乘以u求期望就算完了。
先看U的。F(u)（分布函数）=P(U≤u)=P(X[1]≤u)×P(X[2]≤u)×…×P(X[n]≤u)只看u在0~1之间的
每个X[i]≤u的概率都是取0~u的取值概率，就是区间长度u除以总区间长1（因为是均匀分布），等于u，所以F(u)=u^n（u的n次方），求导得到f(u)（密度）=nu^(n-1)（注意u都是(0,1)上面的，其余地方概率都是0）
期望就把u乘上积分<u>=∫(0到1)n u^n du=n/(n+1)，U的就算完了。

再看V的。V是个最小的，还是仿照上面的思路算分布函数F(v)=P(V≤v)=1-P(V>v)（就这里绕个弯，最小的数要转变为大于号），然后V>v就说明X[i]里面最小的数大于v，也就是X[i]里面每个都大于v，每个大于v的概率也是v~1区间长度除以总的，等于(1-v)所以P(V>v)=(1-v)^n，F(v)=1-(1-v)^n求导得到f(v)=n(1-v)^(n-1)再乘以v求期望<v>=∫(0到1)nv(1-v)^(n-1) dv可以算出，稍微有点麻烦，用分部积分把n(1-v)^(n-1)放到积分符号里面去，变为
<v>=v(1-v)^(n-1)|1,0 -∫(0到1)(1-v)^n dv=1/(n+1)这都是积分计算，楼主自己验算一下就可以。

总结一下，这类题目总之有一个核心思路，就是最小的大于某个数等价于所有的都大于这个数；最大的小于某个数等价于所有的都小于这个数。就想办法求分布函数，把事件往上面说的两方面凑，然后用概率乘法公式就能得到分布函数，最后求出密度函数。

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示

备注