Question

如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分角BAC，EF⊥AC于点F(1)求证 BE=CF(2)求BE的长

Answer 1

1、∠BAE=∠FAE，∠B=∠AFE=90°，AE=AE
所以△ABE全等于△AFE
所以BE=EF
在Rt△EFC中，∠FCE=π/4
所以Rt△EFC是等腰直角三角形
所以EF=FC
∴BE=CF
2、设BE=a，则CF=a
△ABE全等于△AFE
∴AF=AB=1
∴AF+CF=1+a=AC=根号2
所以a=根号2 -1
即BE=根号2 -1

Answer 2

（1）证明：AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠FAE
ABCD为正方形，所以∠B=90
EF⊥AC，所以∠EFA=∠B=90
在△ABE和△AFE中
∠BAE=∠FAE，∠B=∠EFA，AE=AE
所以△ABE≌△AFE，BE=EF
AC为对角线，所以∠FCE=45
EF⊥AC，则△EFC为等腰直角三角形
因此CF=EF=BE
（2）解：因为AC为对角线，∠ACB为等腰直角三角形
所以AC=√2AB=√2
由（1）得，AF=AB=1
所以CF=AC-AF=√2-1
因此BE=CF=√2-1

Answer 3

（1）因为AC是对角线，所以角BCF为45度，因为EF垂直AC，角CFE是90度，角CEF是45度（内角和）EF=CF。证全等，角ABE=角AFE=90度，AE=AE，角BAE=角EAF（平分）
（2）勾股定理即可，答案是根号2—1

Answer 4

(1)∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAF=1/2∠BAC
又∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线，EF⊥AC
∴∠BAC=∠EAF=22.5°，∠AEB=∠AEF=67.5°
又∵AE=AE
∴△ABE≌△AFE
∴BE=FE
又∵∠FEC=∠FCE=45°
∴FE=FC
∴BE=FC
(2)∵AB=BC=1
∴AC=√2
又∵AB=AF=1
∴FC=√2-1
∴BE=√2-1

Answer 5

首先证△ABE和△AFE全等（AAS),所以BE=EF,又AC为对角线，所以角ACB=45度，又EF垂直于AC，所以角EFC=90度，所以△EFC是等腰直角三角形，所以EF=FC,证得BE=CF。

BE=tanBAE*AB=tan（π/8）*1=tan（π/8）