Question

数学难题，高手进

证明：2ln(n+1)-2＜1+1/2+1/3+……+1/n

要求：不能用数学归纳法。
上面的题错了不用证明了，证明下面这道

1+1/2+2/(2²+1)+3/(3²+1)+……+n/(n²+1)＞ln(n+1)

Answer 1

这个结果不对吧.
实际上1+1/2+1/3+...+1/n-ln(n) → 欧拉常数γ ≈ 0.577216.
但是2ln(n+1)-2 < ln(n)+γ对充分大的n是不能成立的.

倒是可以证明ln(n+1) < 1+1/2+1/3+...+1/n.
因为对x > 0, 有ln(1+x) < x.
代入x = 1/k得ln(k+1)-ln(k) = ln(1+1/k) < 1/k.
对k = 1, 2,..., n求和即得ln(n+1) = ln(n+1)-ln(1) < 1+1/2+1/3+...+1/n.

追问

1+1/2+2/(2²+1)+3/(3²+1)+……+n/(n²+1)＞ln(n+1)

追答

k/(k²+1) ≥ k/(k²+k) = 1/(k+1).
因此1+1/2+2/(2²+1)+3/(3²+1)+...+n/(n²+1) ≥ 1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)
≥ 1+1/2+1/3+...+1/n
> ln(n+1) (上面已证).

ln(1+x) < x不难求导证明.

Answer 2

2ln(n+1)-2<1+1/2+1/3+...1/n题目有误吧，
N=12
左边=2ln(13)-2≈3.12
右边=1+1/2+...+1/12≈3.10

追问

1+1/2+2/(2²+1)+3/(3²+1)+……+n/(n²+1)＞ln(n+1)

追答

∵e^(1/x)=1+1/x+1/2!x^2+...>1+1/x=(x+1)/x
∴1/x>ln(x+1)-lnx
又∵1>0=ln1

∴1+1/2+2/(2²+1)+3/(3²+1)+…+n/(n²+1)＞
1+1/2+2/(2²+2)+3/(3²+3)+...+n/(n²+n)=
1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)> ln1 + (ln2 - ln 1) + (ln3-ln2) + ... + (ln(n+1)-ln(n))
=ln(n+1)

追问

1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)> ln1 + (ln2 - ln 1) + (ln3-ln2) + ... + (ln(n+1)-ln(n))
你再看看你的过程，你错了

1/(n+1)<ln(n+1)-ln(n)

追答

1/x>ln(x+1)-lnx
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + 1/(n+1)
> 1 + 1/2 + ... + 1/n
>ln1 + (ln2-ln1) + ... + (ln(n+1)-ln(n))
=ln(n+1)

Answer 3

这道题应该能用数学归纳法吧
应该很好证明

当n=1时，1+1/2>ln2
假设当n=k时，有1+1/2+2/(2^2+1)+……+k/(k^2+1)>ln(k+1) (1)
则 当n=k+1时，1+1/2+2/(2^2+1)+……+k/(k^2+1)+(k+1)/[(k+1)^2+1]>ln(k+1)+(k+1)/[(k+1)^2+1]

追问

数学归纳法我已经证明了，我要的是其他方法

追答

如果happydai1974
∵e^(1/x)=1+1/x+1/2!x^2+...>1+1/x=(x+1)/x
这一步是对的，那他写的就是正确的

追问

1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)> ln1 + (ln2 - ln 1) + (ln3-ln2) + ... + (ln(n+1)-ln(n))错了

追答

哦，好像是错了
我是没看懂第一步e^(1/x)=1+1/x+1/2!x^2+...>

Answer 4

放缩发和构造函数法

追问

纸上谈兵，做出来才是英雄